Time Solution for Damped SDOF Systems

(Solusi untuk Sistem SDOF teredam)

Sistem SDOF teredam untuk dipaksakan, persamaan umum gerak menjadi : 

  

Dengan kondisi awal,

Persamaan gerak adalah perintah, kedua homogen, persamaan diferensial biasa (ODE). Jika semua parameter (massa, kekakuan pegas dan redaman viskos) adalah konstanta, yang ODE menjadi ODE linier dengan koefisien konstant dan dapat diselesaikan dengan metode Persamaan Karakteristik. Persamaan karakteristik untuk masalah ini adalah, 

yang menentukan 2 akar independen untuk masalah getaran teredam. 

Akar persamaan karakteristik jatuh ke dalam salah satu dari 3 kasus berikut:

1.    Jika cv²-4mk <0, system ini disebut underdamped. Akar dari persamaan karakteristik adalah konjugat kompleks, gerak tooscillatory sesuai dengan peluruhan eksponensial dalam amplitudo.

2.    Jika cv²-4mk =0, sistem ini disebut terdam kritis. Akar dari persamaan karakteristik yang berulang, sesuai dengan gerak yang membusuk sederhana dengan paling banyak satu overshoot posisi system istirahat. 

3.    Jika cv²-4mk >0, system ini disebut overdamped. Akar dari persamaan karakteristik murni nyata dan berbeda, sesuai dengan gerak turun secara eksponensial sederhana.

Untuk menyederhanakan solusi dating dengan mendefinisikan c_c redaman kritis, rasio redaman z, dan getaran frekuensi teredam ω_d sebagai :

                                        

Dimana frekuensi alami dari system ω_n diberikan oleh,

Perhatikan bahwa ω_d  selain itu ω_n akan sama ketika redaman system adalah nol (yaitu undamped). Waktu solusi untuk system SDOF bebas disajikan dibawah ini untuk masing-masing dari tiga skenario kasus.

Untuk mendapatkan solusi waktu dari setiap sistem SDOF bebas (teredam atau tidak), menggunakan Kalkulator SDOF.

Sistem Underdamped

Ketika cv²-4mk <0 (setara dengan z <1 atau c_v < c_c), persamaan karakteristik memiliki sepasang akar konjugasi kompleks. Solusi perpindahan untuk jenis system,

 

Sebuah solusi alternatif tetapi setara diberikan oleh,

Plot perpindahan dari sistem underdamped akan muncul sebagai,

Perhatikan bahwa amplitudo perpindahan meluruh secara eksponensial (yaitu logaritma alami dari rasio amplitudo untuk setiap perpindahan terpisah dalam waktu dengan rasio adalah konstan.

Dimana
adalah periode getaran teredam.